Question

已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，對于[-

π

2

，

π

2

]上的任意x₁，x₂，有如下條件：①|x₁|＞|x₂|；②x

2 1

＞x

2 2

；
③cosx₁＞cosx₂；④sinx₁＞sinx₂．其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件序號是（　�。�

• A、①②③
• B、①②
• C、①②④
• D、②③

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且其導數(shù)在[0，

π

2

]上大于0恒成立，可知f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的單調性，然后結合給出的四個條件逐一進行判斷．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²-cosx為偶函數(shù)，f′（x）=2x+sinx，
當0＜x≤

π

2

時，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上為單調增函數(shù)，
由偶函數(shù)性質知函數(shù)在[-

π

2

，0]上為減函數(shù)．
當x₁²＞x₂²時，得|x₁|＞|x₂|≥0，
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），由函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上為偶函數(shù)得f（x₁）＞f（x₂），故①②成立；
當x1，x2∈[-

π

2

，0]時，由cosx₁＞cosx₂，得x₁＞x₂，此時f（x₁）＜f（x₂），③不正確；
當x1，x2∈[-

π

2

，0]時，由sinx₁＞sinx₂，得x₁＞x₂，此時f（x₁）＜f（x₂），④不正確．
∴能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件序號是①②．
故選：B．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調性之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減，是中檔題．