Question

現(xiàn)有三人被派去各自獨(dú)立地解答一道數(shù)學(xué)問題，已知三人各自解答出的問題概率分別為

1

5

，

1

4

，

1

3

，且他們是否解答出問題互不影響．
（Ⅰ）求恰有二人解答出問題的概率；
（Ⅱ）求“問題被解答”與“問題未被解答”的概率．

Answer 1

記“第i個人解答出問題”為事件A_i（i=1，2，3），依題意有      …（1分）
P（A₁）=

1

5

，P（A₂）=

1

4

，P（A₃）=

1

3

，
且A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立．…（4分）
（Ⅰ）設(shè)“恰好二人解答出問題”為事件B，則有
B=A₁A₂

.

A3

+A₁

.

A2

A₃+

.

A1

A₂A₃，且A₁A₂

.

A3

、A₁

.

A2

A₃、

.

A1

A₂A₃彼此互斥
于是P（B）=P（A₁A₂

.

A3

）+P（A₁

.

A2

A₃）+P（

.

A1

A₂A₃）
=

1

5

×

1

4

×

2

3

+

1

5

×

3

4

×

1

3

+

4

5

×

1

4

×

1

3

=

3

20

．
答：恰好二人解答出問題的概率為

3

20

．          …（6分）
（Ⅱ）設(shè)“問題被解答”為事件C，“問題未被解答”為事件D．
D=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

，且

.

A1

、

.

A2

、

.

A3

相互獨(dú)立，
則P（D）=P（

.

A1

）•P（

.

A2

）•P（

.

A3

）=

4

5

×

3

4

×

2

3

=

2

5

．
而P（C）=1-P（D）=

3

5

         …（12分）