Question

現(xiàn)有三人被派去各自獨立地解答一道數(shù)學(xué)問題，已知三人各自解答出的問題概率分別為

1

5

，

1

4

，

1

3

，且他們是否解答出問題互不影響．
（Ⅰ）求恰有二人解答出問題的概率；
（Ⅱ）求“問題被解答”與“問題未被解答”的概率．

Answer 1

分析：（I）利用相互獨立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率和公式得到恰有二人解答出問題的概率；
（II）利用相互獨立事件的概率乘法公式求出“問題未被解答”的概率，利用對立事件的概率公式得到“問題被解答”的概率．

解答：解：記“第i個人解答出問題”為事件A_i（i=1，2，3），依題意有      …（1分）
P（A₁）=

1

5

，P（A₂）=

1

4

，P（A₃）=

1

3

，
且A₁，A₂，A₃相互獨立．…（4分）
（Ⅰ）設(shè)“恰好二人解答出問題”為事件B，則有
B=A₁A₂

.

A3

+A₁

.

A2

A₃+

.

A1

A₂A₃，且A₁A₂

.

A3

、A₁

.

A2

A₃、

.

A1

A₂A₃彼此互斥
于是P（B）=P（A₁A₂

.

A3

）+P（A₁

.

A2

A₃）+P（

.

A1

A₂A₃）
=

1

5

×

1

4

×

2

3

+

1

5

×

3

4

×

1

3

+

4

5

×

1

4

×

1

3

=

3

20

．
答：恰好二人解答出問題的概率為

3

20

．          …（6分）
（Ⅱ）設(shè)“問題被解答”為事件C，“問題未被解答”為事件D．
D=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

，且

.

A1

、

.

A2

、

.

A3

相互獨立，
則P（D）=P（

.

A1

）•P（

.

A2

）•P（

.

A3

）=

4

5

×

3

4

×

2

3

=

2

5

．
而P（C）=1-P（D）=

3

5

         …（12分）

點評：本題考查相互獨立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、對立事件的概率公式；注意正難則反的原則．