Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{n（{a_n}+3）}}$，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，是否存在最大的整數(shù)t，使得對任意的n均有S_n＞$\frac{t}{72}$成立？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得d=2，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=$\frac{1}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，可得S_n，再假設(shè)存在最大的整數(shù)t，使得對任意的n均有S_n＞$\frac{t}{72}$成立，運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性，可得S_n的最小值，即可得到t的最大整數(shù)．

解答 解：（1）等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，
由a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列，
可得a₅²=a₂a₁₄，
即有（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2（0舍去），
可得a_n=2n-1（n∈N*）；
（2）b_n=$\frac{1}{{n（{a_n}+3）}}$=$\frac{1}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
假設(shè)存在最大的整數(shù)t，使得對任意的n均有S_n＞$\frac{t}{72}$成立，
可得36（1-$\frac{1}{n+1}$）＞t，
由36（1-$\frac{1}{n+1}$）在n∈N*遞增，可得最小值為36（1-$\frac{1}{2}$）=18，
則t＜18．可得t的最大整數(shù)為17．
故存在最大的整數(shù)t=17，使得對任意的n均有S_n＞$\frac{t}{72}$成立．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)列的單調(diào)性，考查化簡在合理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．