Question

若從區(qū)間（0，2）內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則“這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于4”概率為

 

，類比前面問題的解法解：若從區(qū)間（0，2）內(nèi)隨機(jī)取三個(gè)實(shí)數(shù)，則“這三個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于4”的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)為x，y，由題意列出不等式組，以及這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于4的不等式組，分別求出區(qū)域面積，利用幾何概型的概率公式解答．

解答： 解：設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)為x，y，則x，y滿足

0＜x＜2 0＜y＜2

，基本事件構(gòu)成平面區(qū)域的面積為4，
事件“這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于4”滿足

0＜x＜2 0＜y＜2 x2+y2≥4

，其構(gòu)成平面區(qū)域的面積為正方形面積減去半徑為2的圓面積的四分之一，即4-π，
故所求概率為

4-π

4

=1-

π

4

類比到空間：設(shè)這三個(gè)實(shí)數(shù)為x，y，z，則

0＜x＜2 0＜y＜2 0＜z＜2

，基本事件構(gòu)成空間區(qū)域的體積為棱長為2的正方體其體積為8；
事件“這三個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于4”滿足

0＜x＜2 0＜y＜2 0＜z＜2 x2+y2+z2≥4

其構(gòu)成空間區(qū)域的體積為正方體體積減去半徑為2的球的體積的八分之一，即8-

1

8

•

4

3

π×23=8-

4π

3

．
故所求概率為

8- 4 3 π

8

=1-

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)幾何概型問題．考查學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力，并能利用合情推理之類比推理的方法解決新的問題，培養(yǎng)和提高創(chuàng)新能力．