【答案】
分析:(1)由曲線C:y=x
3,求導(dǎo)得切線斜率,切點(diǎn)Q
n的坐標(biāo)(a
n,a
n3),得切線方程,切線過點(diǎn)P
n-1(a
n-1,0),代入方程,得關(guān)于數(shù)列{a
n}項(xiàng)的關(guān)系式,變形得出數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列,可求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(2)把每一項(xiàng)的分子用錯(cuò)位相減法都化為1,然后用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求解.
(3)法1,把
分解為1+
后用二項(xiàng)式定理,取前兩項(xiàng)即可;
法2,用數(shù)學(xué)歸納法:第一步,當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立;第二步,假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
解答:解:(1)∵y=x
3,∴y′=3x
2,設(shè)Q
n的坐標(biāo)為(a
n,a
n3),
則切線方程為y-a
n3=3a
n2(x-a
n),
切點(diǎn)為Q
1時(shí),過點(diǎn)P
(1,0),
即:0-a
13=3a
12(1-a
1),
依題意a
1>0.所以
.(2分)
當(dāng)n>1時(shí),切線過點(diǎn)P
n-1(a
n-1,0),
即:0-a
n3=3a
n2(a
n-1-a
n),
依題意a
n>0,所以
.(3分)
所以數(shù)列a
n是首項(xiàng)為
,
公比為
的等比數(shù)列.所以
.(4分)
(2)記S
n=
+…+
,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181132002089463/SYS201310241811320020894018_DA/9.png">,
所以
=
+…+
.(5分)
兩式相減得:
=
+…+
=
+…+
=
=
.(7分)
∴
=
=
.(9分)
(3)①證法1:
=
+…+
.(14分)
②證法2:當(dāng)n=2時(shí),
.(10分)
假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,即
,
則
.
即n=k+1時(shí).
.(13分)
綜上,
,(n≥2,n∈N
*).(14分)
點(diǎn)評:本小題主要考查數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式和數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及邏輯推理,抽象概括能力,運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí),此題有點(diǎn)難度,需要同學(xué)們掌握.用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,用時(shí)要觀察項(xiàng)的特征,是否是等差數(shù)列的項(xiàng)與等比數(shù)列的項(xiàng)的乘積.