Question

已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對于任意的n∈N^*，有S_n=

1

4

（a_n+1）²．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

an•an+1

，記{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，證明T_n≥

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1求出首項(xiàng)，然后根據(jù)4a_n=4S_n-4S_n-1進(jìn)行化簡得a_n-a_n-1=2，從而得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，直接求出通項(xiàng)公式即可；
（2）利用裂項(xiàng)法求出前n項(xiàng)和T_n，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：∵4S₁=4a₁=（a₁+1）²，
∴a₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²，
又{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1；
（2）證明：b_n=

1

an•an+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

=

1

2+ 1 n

≥

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，第二問難度有些大，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，這是數(shù)列求和常用的方法，此題是一道中檔題．