Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A=

π

3

，a=2

3

．設(shè)B=x，△ABC的周長(zhǎng)為y．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；
（2）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由題意函數(shù)是由三邊之和的模型，所以用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊來(lái)求解，
（2）將y=4(sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx)+2

3

用輔助角法轉(zhuǎn)化為y=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

求解．

解答：解（1）：△ABC的內(nèi)角為A+B+C=π
由A=

π

3

，B＞0，C＞0得0＜B＜

2π

3

.（2分）
由正弦定得知：AC=

BC

sinA

sinB=

2 3

sin π 3

sinx=4sinx（4分）
AB=

BC

sinA

sinC=4sin(

2π

3

-x).因?yàn)閥=AB+BC+AC
所以y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

(0＜x＜

2π

3

).（7分）

（2）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">y=4(sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx)+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

（9分）
而0＜x＜

2π

3

，∴

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

.
當(dāng)

π

6

＜x+

π

6

≤

π

2

，即0＜x≤

π

3

時(shí)，f(x)單調(diào)遞增
當(dāng)

π

2

≤x+

π

6

＜

5π

6

，即

π

3

≤x＜

2

3

π時(shí)，f（x）單調(diào)遞減
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

π

3

]，遞減區(qū)間為[

π

3

，

2

3

π)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形中的正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化以及輔助角法將一般的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)用基本函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解．