Question

已知A₁、A₂是平面內(nèi)兩個定點，且|A₁A₂|=2c（c＞0），若動點M與A₁、A₂連線的斜率之積等于常數(shù)m（m≠0），求點M的軌跡方程，并討論軌跡形狀與m值的關(guān)系．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：以A₁、A₂連線為x軸，A₁A₂的垂直平分線為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)M（x，y），則

y

x+c

•

y

x-c

=m，由此能夠?qū)С鰟狱cP的軌跡C的方程，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：以A₁、A₂連線為x軸，A₁A₂的垂直平分線為y軸，建立坐標(biāo)系，則A₁（-c，0）、A₂（c，0）
設(shè)M（x，y），則

y

x+c

•

y

x-c

=m
整理得

x2

c

-

y2

cm

=1（m≠0，x≠±c）
當(dāng)m＞0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線（除去頂點）
②當(dāng)-1＜m＜0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的橢圓（除去長軸兩個端點）
③當(dāng)m=-1時，軌跡C為以原點為圓心，

c

的半徑的圓除去點（-c，0），（c，0）
④當(dāng)m＜-1時，軌跡C為中心在原點，焦點在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個端點）．

點評：本題考查軌跡方程，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．