解答題

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)

建立適當?shù)淖鴺讼�，求橢圓方程；

(2)

如果橢圓上有兩點P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：．

答案：
解析：

(1)

解：以O為原點，OA為x軸建立直角坐標系，設(shè)A(2，0)，則橢圓方程為∵O為橢圓中心，∴由對稱性知|OC|＝|OB|

又∵，∴AC⊥BC又∵|BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|

∴△AOC為等腰直角三角形∴點C的坐標為(1，1)∴點B的坐標為(－1，－1)將C的坐標(1，1)代入橢圓方程得，則求得橢圓方程為

(2)

證：由于∠PCQ的平分線垂直于OA(即垂直于x軸)，不妨設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為－k，因此直線PC、QC的方程分別為y＝k(x－1)＋1，y＝－k(x－1)＋1由得：(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0(*)∵點C(1，1)在橢圓上，∴x＝1是方程(*)的一個根，∴xP?＝即xP＝同理xQ＝∴直線PQ的斜率為又∵，∴．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題A、B、C三個選答題，請考生任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．
A．（不等式選講選做題）若不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集為∅，則m的取值范圍為
（-∞，
1
3
]
（-∞，
1
3
]
．
B．（幾何證明選講選做題）如圖所示，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D．過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=
3
2
，則線段CD的長為
4
3
4
3
．
C．（極坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，ρ（2，
π
3
）的直角坐標是
(1，
3
)
(1，
3
)
．

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(2)當梯形PABQ周長最大時，求橢圓C的方程．

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