Question

5．歐拉在1748年給出了著名公式e^iθ=cosθ+isinθ（歐拉公式）是數(shù)學(xué)中最卓越的公式之一，其中，底數(shù)e=2.71828…，根據(jù)歐拉公式e^iθ=cosθ+isinθ，任何一個復(fù)數(shù)z=r（cosθ+isinθ），都可以表示成z=re^iθ的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，若復(fù)數(shù)z₁=2e${\;}^{i\frac{π}{3}}$，z₂=2e${\;}^{i\frac{π}{2}}$，則復(fù)數(shù)z=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（　　）

• A． 第一象限
• B． 第二象限
• C． 第三象限
• D． 第四象限

Answer 1

分析 由歐拉公式求出z₁=1+$\sqrt{3}$i，z₂=2i，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算法則求出z，由此能求出復(fù)數(shù)z=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的第四象限．

解答 解：∵e^iθ=cosθ+isinθ，
∴z₁=2e${\;}^{i\frac{π}{3}}$=2（cos$\frac{π}{3}$+isin$\frac{π}{3}$）=2（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$）=1+$\sqrt{3}$i，
z₂=2e${\;}^{i\frac{π}{2}}$=2（cos$\frac{π}{2}$+isin$\frac{π}{2}$）=2（0+i）=2i，
∴z=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{1+\sqrt{3}i}{2i}$=$\frac{i+\sqrt{3}{i}^{2}}{2{i}^{2}}$=$\frac{i-\sqrt{3}}{-2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}i$，
∴復(fù)數(shù)z=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）在第四象限．
故選：D．

點評 本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算法則的合理運用．