Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，首項(xiàng)a₁=4，且a₁，a₅，a₁₃依次成等比數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=n+3，數(shù)列$\{{2^{a_n}}\}$的前6項(xiàng)和為1008．

Answer 1

分析 根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程，求出公差d，再求出通項(xiàng)公式a_n，再有等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列$\{{2^{a_n}}\}$的前6項(xiàng)和．

解答 解：因?yàn)閍₁=4，且a₁，a₅，a₁₃依次成等比數(shù)列，
所以${{a}_{5}}^{2}={a}_{1}{a}_{13}$，則（4+4d）²=4（4+12d），
解得d=1或d=0，
又等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，則d=1，
所以a_n=4+n-1=n+3，
則數(shù)列$\{{2^{a_n}}\}$的前6項(xiàng)和S=${2}^{{a}_{1}}$+${2}^{{a}_{2}}+…+{2}^{{a}_{6}}$
=2⁴+2⁵+…+2⁹=$\frac{{2}^{4}（1-{2}^{6}）}{1-2}$=1008，
故答案為：n+3；1008．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比中項(xiàng)的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．