(2013•蚌埠二模)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D,E分別為AB,AC中點(diǎn).
(I)求證:DE∥面PBC;
(II)求證:AB⊥PE;
(III)求三棱錐B-PEC的體積.
分析:(I)根據(jù)三角形中位線定理,證出DE∥BC,再由線面平行判定定理即可證出DE∥面PBC;
(II)連結(jié)PD,由等腰三角形“三線合一”,證出PD⊥AB,結(jié)合DE⊥AB證出AB⊥平面PDE,由此可得AB⊥PE;
(III)由面面垂直性質(zhì)定理,證出PD⊥平面ABC,得PD是三棱錐P-BEC的高.結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出PD=
3
且S△BEC=
3
2
,利用錐體體積公式求出三棱錐P-BEC的體積,即得三棱錐B-PEC的體積.
解答:解:(I)∵△ABC中,D、E分別為AB、AC中點(diǎn),∴DE∥BC
∵DE?面PBC且BC?面PBC,∴DE∥面PBC;
(II)連結(jié)PD
∵PA=PB,D為AB中點(diǎn),∴PD⊥AB
∵DE∥BC,BC⊥AB,∴DE⊥AB,
又∵PD、DE是平面PDE內(nèi)的相交直線,∴AB⊥平面PDE
∵PE?平面PDE,∴AB⊥PE;
(III)∵PD⊥AB,平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB
∴PD⊥平面ABC,可得PD是三棱錐P-BEC的高
又∵PD=
3
,S△BEC=
1
2
S△ABC=
3
2

∴三棱錐B-PEC的體積V=VP-BEC=
1
3
S△BEC×PD=
3
2
點(diǎn)評(píng):本題在三棱錐中求證線面平行、線線垂直,并求錐體的體積.著重考查了線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識(shí),屬于中檔題.
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(2013•蚌埠二模)已知sinα=
2
3
,則cos2α=( 。

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(2013•蚌埠二模)已知△ABC中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-
2
,0),B(
2
,0)
,點(diǎn)C在x軸上方.
(1)若點(diǎn)C坐標(biāo)為(
2
,1)
,求以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)C的橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)P(m,0)作傾角為
3
4
π
的直線l交(1)中曲線于M、N兩點(diǎn),若點(diǎn)Q(1,0)恰在以線段MN為直徑的圓上,求實(shí)數(shù)m的值.

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(2013•蚌埠二模)點(diǎn)A是拋物線C1:y2=2px(p>0)與雙曲線C2
x2
a
-
y2
b
=1
(a>0,b>0)的一條漸近線的交點(diǎn),若點(diǎn)A到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為p,則雙曲線C2的離心率等于(  )

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(2013•蚌埠二模)若{an}是等差數(shù)列,則a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9( 。

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(2013•蚌埠二模)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(-3,0)且與直線2x-y-3=0垂直,則直線l的方程為( 。

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