Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若a=1，函數(shù)f（x）的圖象能否總在直線y=b的下方？說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，x=2是方程f（x）=0的一個根，求證f（1）≤-2；
（3）若函數(shù)f（x）圖象上任意不同的兩點連線斜率小于1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）三次多項式函數(shù)的單調(diào)性問題，先求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)增區(qū)間，問題得以解決
（2）由f（x）在[0，2]上是增函數(shù)可求出a的范圍，x=2是方程f（x）=0的一個根，找出a和b的關(guān)系，可證．
（3）設(shè)P（x，f（x）），Q（y，f（y））是f（x）圖象上的兩個不同點，則

f(x)-f(y)

x-y

＜1，即x²+（y-a）x+（y²-ay+1）＞0 恒成立．由△＜0 得到 3y²-2ay-a²+4＞0恒成立，故此式的判別式△′＜0，解不等式求得a的范圍．

解答： 解：∵f（x）=-x³+x²+b（a、b∈R）
∴f'（x）=-3x²+2x=-x（3x-2）．
令f'（x）=0得x₁=0，x₂=

2

3

，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（0，

2

3

），若a=1，
則x∈（0，

2

3

）時，f（x）＞f（0）=b
∴f（x）的圖象不可能總在直線y=b的下方．
（3）若函數(shù)f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，則x∈[0，2]時f'（x）=-3x²+2ax≥0恒成立．
即a≥

3

2

x對x∈[0，2]恒成立，
∴a≥3，
又f（2）=0，
∴-8+4a=b+0得b=8-4a，
∴f（1）=-1+a+b=7-3a≤-2．
（3）設(shè)P（x，f（x）），Q（y，f（y））是f（x）圖象上的兩個不同點，則

f(x)-f(y)

x-y

＜1，
∴

(-x3+ax2+b)(-y3+ay2+b)

x-y

＜1，
∴-（x²+y²+xy）+a（x+y）＜1，
∴x²+（y-a）x+（y²-ay+1）＞0 恒成立，從而△＜0，
∴3y²-2ay-a²+4＞0，
從而此式的判別式△′＜0，
∴a²＜3，
解得-

3

＜a＜

3

，
∴a∈（-

3

，

3

）．

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，直線的斜率，把握好恒成立的條件是解題的關(guān)鍵和難點．