Question

10．在[0，1]上隨機取一個數(shù)k，則事件“直線y=kx與函數(shù)y=lnx的圖象有2個公共點”發(fā)生的概率為$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 令kx=lnx，則k=$\frac{lnx}{x}$，記f（x）=$\frac{lnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍，根據(jù)幾何概型求出名字條件的概率即可．

解答 解：由題意，令kx=lnx，則k=$\frac{lnx}{x}$，
記f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
f'（x）在（0，e）上為正，在（e，+∞）上為負(fù)，
故f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
f（x）的在最大值是f（e）=$\frac{1}{e}$，
故0≤k＜$\frac{1}{e}$，
由$\frac{\frac{1}{e}-0}{1-0}$=$\frac{1}{e}$，
得直線y=kx與函數(shù)y=lnx的圖象有2個公共點”發(fā)生的概率為$\frac{1}{e}$，
故答案為：$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了幾何概型問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．