Question

5．已知$A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，則sin2α的值為（　　）

• A． $\frac{8}{9}$
• B． $-\frac{8}{9}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，再利用兩個(gè)向量數(shù)量積公式求得sinα+cosα的值，再平方，可得sin2α的值．

解答 解：∵已知$A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）
=1-3（sinα+cosα）=0，∴sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，平方可得1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，
∴2sinαcosα=sin2α=-$\frac{8}{9}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量數(shù)量積公式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．