Question

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，b=3，且（3+a）（sinB-sinA）=（c-a）sinC，則△ABC面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：把已知等式中的3變形為b，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosB，把得出關(guān)系式代入求出cosB的值，確定出B的度數(shù)，利用基本不等式求出ac的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：由b=3，（3+a）（sinB-sinA）=（c-a）sinC，即（b+a）（sinB-sinA）=（c-a）sinC，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：（a+b）（b-a）=c（c-a），
整理得：b²-a²=c²-ac，即a²+c²-b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，即B=60°，
∴ac=a²+c²-b²≥2ac-9，即ac≤9，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

9 3

4

，
則△ABC面積的最大值為

9 3

4

．
故答案為：

9 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．