Question

12．設拋物線C：x²=4y的焦點為F，斜率為k的直線l經(jīng)過點F，若拋物線C上存在四個點到直線l的距離為2，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （-$\sqrt{3}$，-1）∪（1，$\sqrt{3}$）
• C． （-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 斜率為k的直線l的方程為y=kx+1，設與直線l平行的直線方程為kx-y+b=0，由兩條平行線間的距離公式可得$\frac{|b-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，只需要考慮直線的下方，滿足條件的直線與拋物線有兩個交點即可．

解答 解：由題意，斜率為k的直線l的方程為y=kx+1，
設與直線l平行的直線方程為kx-y+b=0，由兩條平行線間的距離公式可得$\frac{|b-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
∴b=1±2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
取直線kx-y+1-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$=0，即y=kx+1-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
代入拋物線C：x²=4y，整理可得x²-4kx-4+8$\sqrt{{k}^{2}+1}$=0，
∴△=16k²+16-32$\sqrt{{k}^{2}+1}$＞0，
∴k²+1-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$＞0，
∴$\sqrt{{k}^{2}+1}$＞2，
∴k$＜-\sqrt{3}$或k$＞\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查兩條平行線間的距離公式，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．