在a>0,b>0的條件下,四個結論:①(
a+b
2
)2≥ab
,②
2ab
a+b
a+b
2
,③
a+b
2
a2+b2
2
,④
b2
a
+
a2
b
≤a+b
;其中正確的個數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4
對于②③:因為a>0,b>0
2ab
a+b
-
a+b
2
=
4ab-a2-2ab-b2
2(a+b)
=-
(a-b)2
2(a+b)
≤0?
2ab
a+b
a+b
2
,
當且僅當a=b時取等號.(5分) (
a+b
2
)2-(
a2+b2
2
)2=
a2+2ab+b2
4
-
a2+b2
2
=
-a2+2ab-b2
4
=-
(a-b)2
4
?(
a+b
2
)2-(
a2+b2
2
)2≤0?(
a+b
2
)2≤(
a2+b2
2
)2?
a+b
2
a2+b2
2

當且僅當a=b時取等號.(11分)
綜上知:
2ab
a+b
a+b
2
a2+b2
2
,當且僅當a=b時等號成立;
①:由于 (
a+b
2
)
2
-ab
=
a2+b2+2ab
4
=
(a+b)
4
2
≥0,成立,故 ①正確.
④:取a=2,b=1,代入可知其不成立.
故選C.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•棗莊二模)已知拋物線x2=2py上點(2,2)處的切線經過橢圓E:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的兩個頂點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過橢圓E的上頂點A的兩條斜率之積為-4的直線與該橢圓交于B,C兩點,是否存在一點D,使得直線BC恒過該點?若存在,請求出定點D的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,若△ABC的重心為G,當邊BC的端點在橢圓E上運動時,求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•湛江一模)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦點為F(c,0).
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2,求雙曲線的方程;
(2)以原點O為圓心,c為半徑作圓,該圓與雙曲線在第一象限的交點為A,過A作圓的切線,斜率為-
3
,求雙曲線的離心率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若給定橢圓C:ax2+by2=1(a>0,b>0,a≠b)和點N(x0,y0),則稱直線l:ax0x+by0y=1為橢圓C的“伴隨直線”.
(1)若N(x0,y0)在橢圓C上,判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關系(當直線與橢圓的交點個數(shù)為0個、1個、2個時,分別稱直線與橢圓相離、相切、相交),并說明理由;
(2)命題:“若點N(x0,y0)在橢圓C的外部,則直線l與橢圓C必相交.”寫出這個命題的逆命題,判斷此逆命題的真假,說明理由;
(3)若N(x0,y0)在橢圓C的內部,過N點任意作一條直線,交橢圓C于A、B,交l于M點(異于A、B),設
MA
=λ1
AN
,
MB
=λ2
BN
,問λ12是否為定值?說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2008年上海市上海中學高三3月綜合練習數(shù)學試卷1(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

若給定橢圓C:ax2+by2=1(a>0,b>0,a≠b)和點N(x,y),則稱直線l:axx+byy=1為橢圓C的“伴隨直線”.
(1)若N(x,y)在橢圓C上,判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關系(當直線與橢圓的交點個數(shù)為0個、1個、2個時,分別稱直線與橢圓相離、相切、相交),并說明理由;
(2)命題:“若點N(x,y)在橢圓C的外部,則直線l與橢圓C必相交.”寫出這個命題的逆命題,判斷此逆命題的真假,說明理由;
(3)若N(x,y)在橢圓C的內部,過N點任意作一條直線,交橢圓C于A、B,交l于M點(異于A、B),設,,問λ12是否為定值?說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年上海市上海中學高三數(shù)學綜合練習試卷(1)(解析版) 題型:解答題

若給定橢圓C:ax2+by2=1(a>0,b>0,a≠b)和點N(x,y),則稱直線l:axx+byy=1為橢圓C的“伴隨直線”.
(1)若N(x,y)在橢圓C上,判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關系(當直線與橢圓的交點個數(shù)為0個、1個、2個時,分別稱直線與橢圓相離、相切、相交),并說明理由;
(2)命題:“若點N(x,y)在橢圓C的外部,則直線l與橢圓C必相交.”寫出這個命題的逆命題,判斷此逆命題的真假,說明理由;
(3)若N(x,y)在橢圓C的內部,過N點任意作一條直線,交橢圓C于A、B,交l于M點(異于A、B),設,,問λ12是否為定值?說明理由.

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