Question

（2013•湛江一模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F（c，0）．
（1）若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2，求雙曲線的方程；
（2）以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為-

3

，求雙曲線的離心率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為y=x，可得

b

a

=1，解得a=b，結合c=

a2+b2

=2算出a=b=

2

，可得該雙曲線方程；
（2）設A（m，n），根據(jù)切線垂直于過切點的半徑算出m=

3

n．而以點O為圓心，c為半徑的圓方程為x²+y²=c²，將A的坐標代入圓方程，算出點A（

1

2

c，

3

2

c），將此代入雙曲線方程，并結合c²=a²+b²化簡整理得

3

4

c⁴-2c²a²+a⁴=0，再根據(jù)離心率公式整理得3e⁴-8e²+4=0，解之即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x
∴若雙曲線的一條漸近線方程為y=x，可得

b

a

=1，解之得a=b
∵c=

a2+b2

=2，∴a=b=

2

由此可得雙曲線方程為

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）設A的坐標為（m，n），可得直線AO的斜率滿足k=

n

m

=

-1

- 3

，即m=

3

n…①
∵以點O為圓心，c為半徑的圓方程為x²+y²=c²
∴將①代入圓方程，得3n²+n²=c²，解得n=

1

2

c，m=

3

2

c
將點A（

1

2

c，

3

2

c）代入雙曲線方程，得

( 3 2 c)2

a2

-

( 1 2 c)2

b2

=1
化簡得：

3

4

c²b²-

1

4

c²a²=a²b²，
∵c²=a²+b²
∴b²=c²-a²代入上式，化簡整理得

3

4

c⁴-2c²a²+a⁴=0
兩邊都除以a⁴，整理得3e⁴-8e²+4=0，解之得e²=

2

3

或e²=2
∵雙曲線的離心率e＞1，∴該雙曲線的離心率e=

2

（舍負）

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率和雙曲線的方程，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．