Question

設函數(shù)f（x）的定義域為R，對于任意實數(shù)m、n，總有f（m+n）=f（m）•f（n），且x＞0時0＜f（x）＜1．
（1）證明：f（0）=1，且x＜0時f（x）＞1；
（2）證明：f（x）在R 上單調(diào)遞減；
（3）設A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，確定a 的范圍．

Answer 1

解：（1）證明：f（m+n）=f（m）•f（n），
令m＞0，n=0，?f（m）=f（m）f（0）
已知x＞0時0＜f（x）＜1．
?f（0）=1
設m=x＜0，n=-x＞0，f（-x）∈（0，1）
?f（0）=f（m+n）=f（m）f（n）=1?f（m）＞1，即當x＜0時f（x）＞1　…（4分）
（2）?x₁＜x₂∈R，則x₂-x₁＞0，0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₁）＞0?f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0
∴f（x）在R 上單調(diào)遞減．　　　　　　　　　　　　　　…（10分）
（3）f（x²）f（y²）＞f（1）?f（x²+y²）＞f（1）
f（x）在R上單調(diào)遞減
?x²+y²＜1（單位圓內(nèi)部分）
f（ax-y+2）=1=f（0）?ax-y+2=0（一條直線）
A∩B=φ??a2≤3?a∈[，]…（16分）
分析：對于抽象函數(shù)的求解策略和方法為賦值法，
（1）令m＞0，n=0，代入已知條件，即可求得結(jié)果；
（2））?x₁＜x₂∈R，則x₂-x₁＞0，0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₁）＞0?f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0代入已知條件即可判定函數(shù)的單調(diào)性．
（3）f（x²）f（y²）＞f（1）?f（x²+y²）＞f（1）結(jié)合函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減得到x²+y²＜1；f（ax-y+2）=1=f（0）?ax-y+2=0（一條直線）結(jié)合直線與圓的位置關系即可確定a 的范圍．
點評：本題考查抽象函數(shù)的有關問題，其中賦值法是常用的方法，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、函數(shù)的奇偶性的定義，屬基礎題．