考點:用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)取BE1=CE,連結(jié)EE1和AE1,由已知得四邊形AE1ED為平行四邊形,由此能證明B1F∥平面BDE.
(Ⅱ)以A為原點,AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.利用向量法能求出CE的長.
(Ⅲ)求出平面OBE的一個法向量,和平面A1BE的一個法向量,利用向量法能求出二面角A1-BE-O的余弦值.
解答:
(Ⅰ)證明:取BE
1=CE,連結(jié)EE
1和AE
1,
∴EE
1=BC,EE
1∥BC,BC=AD,BC∥AD,
∴EE
1=AD,EE
1∥AD,∴四邊形AE
1ED為平行四邊形,
∴AE
1∥DE,在矩形A
1ABB
1中,A
1F=BE
1,
∴四邊形B
1FAE
1為平行四邊形,∴B
1F∥AE
1,B
1F∥DE.
∵DE?平面BDE,B
1F?平面BDE,∴B
1F∥平面BDE.(4分)
(Ⅱ)解:以A為原點,AB,AD,AA
1所在直線為x,y,z軸,
建立空間直角坐標系.
C(0,2,0),A
1(2,0,4),O(1,1,0),B(2,2,0),設(shè)E(0,2,t),
=(-1,1,-4),
=(-2,0,t),
∵A
1O⊥BE,∴
•=2-4t=0,解得t=
,
∴CE=
.(8分)
(Ⅲ)解:B(2,2,0),E(0,2,
),A
1(2,0,4),O(1,1,0).
=(-1,1,-4),
=(2,2,0),
∴
•=-2+2+0=0,∴
⊥,
又A
1O⊥BE,∴
=(-1,1,-4)為平面OBE的一個法向量,
設(shè)
=(x,y,z)為平面A
1BE的一個法向量,
∵
=(0,2,-4),
=(-2,2,-
),
則
,
令z=4,得
=(1,8,4),
∴cos<
,
>=
=-
,
∵二面角A
1-BE-O的平面角為銳角,
∴二面角A
1-BE-O的余弦值為
. (12分)
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查線段長的求法,考查二面角的余弦值的求法,解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng).