Question

1．設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（3）=0，則不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{2}$＞0的解集為（　�。�

• A． （-3，0）∪（3，+∞）
• B． （-3，0）∪（0，3）
• C． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• D． （-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得到f（-3）=0，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，從而由不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{2}＞0$便可得到f（x）＞0，討論x：x＞0時，會得到f（x）＞f（3）；x＜0時，會得到f（x）＞f（-3），這樣根據(jù)f（x）的單調(diào)性便可得出這兩種情況下x的范圍，求并集便可得出原不等式的解集．

解答 解：f（x）為奇函數(shù)，f（3）=0；
∴f（-3）=0；
f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
∴f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
∴$\frac{f（x）-f（-x）}{2}=f（x）＞0$；
①若x＞0，則f（x）＞f（3）；
∴x＞3；
②若x＜0，則f（x）＞f（-3）；
∴-3＜x＜0；
∴綜上得原不等式的解集為（-3，0）∪（3，+∞）．
故選A．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性特點(diǎn)，以及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性解不等式的方法．