Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，以PF1為直徑的圓E：x2過(guò)點(diǎn)F2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P且斜率大于0的直線l1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與直線x＝4的交點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)（3，）且與l1垂直的直線l2與直線x＝4交于點(diǎn)D，求△ABD面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）22．

【解析】

（1）根據(jù)題意求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得a和b的值，即可求得橢圓方程；

（2）設(shè)直線l1的方程，代入涂鴉方程，利用韋達(dá)定理求得A的橫坐標(biāo)，求得直線l2方程，求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式及基本不等式即可求得△ABD面積的最小值．

（1）在圓E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，

所以F1（﹣2，0），F2（2，0），

又因?yàn)?/span>，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以，則，b＝2，

因此橢圓的方程為；

（2）設(shè)直線l1：yk（x﹣2）（k＞0），

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

設(shè)A（xA，yA），D（xD，yD），將直線l1代入橢圓方程得：（1+2k2）x2+（4k﹣8k2）x+8k2﹣8k﹣4＝0，

所以xPxA，所以xA，

直線l2的方程為y（x﹣3），所以點(diǎn)D坐標(biāo)為，

所以S△ABD（4﹣xA）|yB﹣yD|

＝2k222，

當(dāng)且僅當(dāng)2k，即k時(shí)取等號(hào)，

綜上，△ABD面積的最小值22．