Question

3．若a，b∈R，a≠b，a²-a-1=0，b²=b+1．
（1）求$\frac{a}$+$\frac{a}$的值．
（2）求a⁵+b⁵的值．

Answer 1

分析 由題意得到a，b是方程x²-x-1=0的兩個(gè)實(shí)根，故ab=-1，a+b=1，對(duì)兩個(gè)代數(shù)式變形為關(guān)于ab，和a+b的代數(shù)式求值．

解答 解：由題意得到a，b是方程x²-x-1=0的兩個(gè)實(shí)根，故ab=-1，a+b=1，
所以（1）$\frac{a}$+$\frac{a}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab}=\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}=-3$．
（2）a⁵+b⁵=（a+b）⁵-5a⁴b-10a³b²-10a²b³-5ab⁴
=（a+b）⁵-5ab（a³+2a²b+2ab²+b³）
=1+5[（a+b）³-a²b-ab²）
=1+5[1-ab（a+b）]
=1+5[1+1]
=11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用求代數(shù)式的值；關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)a，b的關(guān)系，正確變形．