Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足：
①f（x）的一個(gè)零點(diǎn)為2；②f（x）的最大值為1；③對任意實(shí)數(shù)x都有f（x+1）=f（1-x）．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)=

x，      x∈A f(x)， x∈B

是定義域?yàn)椋?，1）的單調(diào)增函數(shù)，且0＜x₀＜x′＜1．當(dāng)x₀∈B時(shí)，證明：x′∈B．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件①②③，可以得到2為f（x）=0的一個(gè)根，函數(shù)的對稱軸為x=1，及最大值為

4ac-b2

4a

=1，列出方程組，求解即可得到a，b，c的值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）所求的解析式，研究x∈B時(shí)，f（x）=g（x），根據(jù)g（x）的定義域和單調(diào)性，可得到[x0，-

x

2 0

+2x0]⊆B，研究可以得到[x_n-1，x_n]⊆B，進(jìn)一步分析，取自然數(shù)nx′≥log2log(1-x0)(1-x′)，即可得x∈[x0，xnx′]，從而證到x'∈B．

解答：解：（I）∵f（x）的一個(gè)零點(diǎn)為2，
∴f（2）=0，即4a+2b+c=0，①，
又對任意x都有f（x+1）=f（1-x），
令x=-1，則f（0）=f（2）=0，
∴c=0，②
∵f（x）的最大值為1，
∴

4ac-b2

4a

=1，即4a+b²-4ac=0，③
由①②③得，解得a=-1，b=2，c=0；
（II）證明：由（ I）知，f（x）=-x²+2x，
∵x₀∈B，
∴g（x₀）=f（x₀）=-x02+2x₀=-(x0-1)2+1，
∵g（x）的定義域?yàn)椋?，1），
∴0＜x₀＜1，
∴x₀＜g（x₀）＜1，
∵g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴[x0，-

x

2 0

+2x0]⊆B，
記x1=-

x

2 0

+2x0∈(0，1)，x2=-

x

2 1

+2x1，…，xn=-

x

2 n-1

+2xn-1，…
∴[x₀，x₁]⊆B，
同理[x₁，x₂]⊆B，…，[x_n-1，x_n]⊆B，…
∵xn=-

x

2 n-1

+2xn-1，
∴1-xn=1+

x

2 n-1

-2xn-1=(1-xn-1)2，
∴1-xn=(1-xn-1)2=(1-xn-2)22=…=(1-x0)2n，
∵x₀＜x'＜1，可取自然數(shù)nx′≥log2log(1-x0)(1-x′)，
∴x′≤xnx′，即x∈[x0，xnx′]，
∵x∈[x0，xnx′]⊆B，
∴x'∈B，
∴當(dāng)x₀∈B時(shí)，x′∈B．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．綜合運(yùn)用了函數(shù)的性質(zhì)，涉及了函數(shù)的零點(diǎn)、最值、對稱性．考查了利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式的問題，屬于中檔題．