Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁，F(xiàn)₂，兩個(gè)頂點(diǎn)式A₁，A₂，過(guò)點(diǎn)F₂與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段A₁A₂為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)斜率與平行的關(guān)系即可得出過(guò)焦點(diǎn)F₂的直線，與另一條漸近線聯(lián)立即可得到交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)M在以線段A₁A₂為直徑的圓內(nèi)和離心率的計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂與雙曲線的一條漸過(guò)線平行的直線方程為y=

b

a

（x-c），
與y=-

b

a

x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（

c

2

，-

bc

2a

），
∵點(diǎn)M在以線段A₁A₂為直徑的圓內(nèi)，
∴

c2

4

+

b2c2

4a2

＜a²，
∴

c4

a4

＜4，
∴e⁴＜4，
∴e＜

2

，
又∵e＞1，
∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，

2

）．
故答案為：（1，

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，熟練掌握雙曲線的漸近線、離心率的計(jì)算公式、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．