Question

2014年5月31日，江西宜春的高三考生柳艷兵與易征勇在客運(yùn)班車上與持刀歹徒英勇搏斗的事跡．事后不久，江西某市迅速在全市高中開展了“向柳艷兵與易征勇同學(xué)學(xué)習(xí)”的宣傳活動(dòng)，該市某高中就這一宣傳活動(dòng)在該校師生中抽取了120人進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：

所持態(tài)度	很有必要	有必要	意義不大
人數(shù)（單位：人）	60	40	20

（1）若從這120人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行座談，再從這6人中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步調(diào)查，求這3人中至少有1人態(tài)度為“很有必要”的概率；
（2）現(xiàn)從（1）所抽取的6人的問卷中每次抽取1份，且不重復(fù)抽取，直至確定出所有態(tài)度為“很有必要”的問卷為止，記所要抽取的次數(shù)為X，求X的分布列及期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用認(rèn)為很有必要的人有3人，認(rèn)為有必要的人有2人，認(rèn)為意義不大的人有1人，從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步調(diào)查，則有20種情況，利用對(duì)立事件，由此能求出這3人中至少有1人態(tài)度為“很有必要”的概率；
（2）由題意知抽取的次數(shù)X=1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

解答： 解：（1）若從這120人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行座談，
則認(rèn)為很有必要的人有3人，認(rèn)為有必要的人有2人，認(rèn)為意義不大的人有1人，
從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步調(diào)查，則有

C

3 6

=20種情況，
∴這3人中至少有1人態(tài)度為“很有必要”的概率為1-

3

20

=

17

20

；
（2）由題意，X=3，4，5，則P（X=3）=

3×2×3

6×5×4

=

3

20

，
P（X=4）=

3×2×1×3

6×5×4×3

=

1

20

，P（X=5）=1-P（X=3）-P（X=4）=

4

5

∴X的分布列

X	3	4	5
P	3 20	1 20	4 5

EX=3×

3

20

+4×20+5×

4

5

=

87

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．