【題目】已知的三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上,給出下列命題:
①若直線過點(diǎn),則存在使拋物線的焦點(diǎn)恰為的重心;
②若直線過點(diǎn),則存在點(diǎn)使為直角三角形;
③存在,使拋物線的焦點(diǎn)恰為的外心;
④若邊的中線軸,,則的面積為.
其中正確的序號(hào)為______________.
【答案】①②.
【解析】
對(duì)于①設(shè)出直線方程,與拋物線聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,求出坐標(biāo)和,再利用重心坐標(biāo)公式,求出點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程,即可得出結(jié)論;
對(duì)于②當(dāng)直線過點(diǎn),可證,即可得出結(jié)論為正確;
對(duì)于③判斷以焦點(diǎn)為圓心的圓與拋物線是否有三個(gè)交點(diǎn);
對(duì)于④設(shè)方程與拋物線聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,求出中點(diǎn)坐標(biāo),然后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程,求出的面積,即可判斷結(jié)論是否正確.
設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
①直線過點(diǎn),設(shè)方程為,
聯(lián)立,消去,得,
,
拋物線的焦點(diǎn)恰為的重心,
,
將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程,
當(dāng)時(shí),,①正確;
②直線過點(diǎn),設(shè)方程為,
聯(lián)立消去得,,
,
,而點(diǎn)在拋物線上,故②正確;
③設(shè)以拋物線焦點(diǎn)為圓心的圓半徑為,
其方程為,與拋物線方程聯(lián)立得
,
方程至多只有一個(gè)非負(fù)解,即圓與拋物線至多只有兩個(gè)交點(diǎn),
不存在,使拋物線的焦點(diǎn)恰為的外心;③不正確;
④的方程為,代入拋物線方程得,
,
設(shè)中點(diǎn),軸,,
,代入拋物線方程得
,
.
④不正確.
故答案為:①②.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,正方形所在平面垂直于平面,四邊形為平行四邊形,為上一點(diǎn),且平面,.
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),求直線與平面所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中,若、、是的三條邊長,則下列結(jié)論:①對(duì)于一切都有;②存在使、、不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長;③為鈍角三角形,存在,使,其中正確的個(gè)數(shù)為______個(gè)
A. 3B. 2C. 1D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,為正三角形,為棱的中點(diǎn),,,平面平面
(1)求證:平面平面;
(2)若是棱上一點(diǎn),與平面所成角的正弦值為,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三家企業(yè)產(chǎn)品的成本分別為10000,12000,15000,其成本構(gòu)成如下圖所示,則關(guān)于這三家企業(yè)下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.成本最大的企業(yè)是丙企業(yè)B.費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙企業(yè)
C.支付工資最少的企業(yè)是乙企業(yè)D.材料成本最高的企業(yè)是丙企業(yè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線的一部分,它的方程是,在凹槽內(nèi)放入一個(gè)清潔鋼球(規(guī)則的球體),要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部,則清潔鋼球的最大半徑為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市有東、西、南、北四個(gè)進(jìn)入城區(qū)主干道的入口,在早高峰時(shí)間段,時(shí)常發(fā)生交通擁堵,交警部門記錄了11月份30天內(nèi)的擁堵情況(如下表所示,其中●表示擁堵,○表示通暢).假設(shè)每個(gè)人口是否發(fā)生擁堵相互獨(dú)立,將各入口在這30天內(nèi)擁堵的頻率代替各入口每天擁堵的概率.
11.1 | 11.2 | 11.3 | 11.4 | 11.5 | 11.6 | 11.7 | 11.8 | 11.9 | 11.10 | 11.11 | 11.12 | 11.13 | 11.14 | 11.15 | ||||||||||||||||
東入口 | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | ● | ● | ○ | ● | ● | ● | ○ | ● | |||||||||||||||
西入口 | ○ | ○ | ● | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | ● | ○ | ○ | |||||||||||||||
南入口 | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | |||||||||||||||
北入口 | ● | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | |||||||||||||||
11.16 | 11.17 | 11.18 | 11.19 | 11.20 | 11.21 | 11.22 | 11.23 | 11.24 | 11.25 | 11.26 | 11.27 | 11.28 | 11.29 | 11.30 | ||||||||||||||||
東入口 | ● | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | p>○ | ● | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | |||||||||||||||
西入口 | ● | ○ | ● | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | |||||||||||||||
南入口 | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | |||||||||||||||
北入口 | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | |||||||||||||||
(1)分別求該城市一天中早高峰時(shí)間段這四個(gè)主干道的入口發(fā)生擁堵的概率.
(2)各人口一旦出現(xiàn)擁堵就需要交通協(xié)管員來疏通,聘請(qǐng)交通協(xié)管員有以下兩種方案可供選擇.方案一:四個(gè)主干道入口在早高峰時(shí)間段每天各聘請(qǐng)一位交通協(xié)管員,聘請(qǐng)每位交通協(xié)管員的日費(fèi)用為(,且)元.方案二:在早高峰時(shí)間段若某主干道入口發(fā)生擁堵,交警部門則需臨時(shí)調(diào)派兩位交通協(xié)管員協(xié)助疏通交通,調(diào)派后當(dāng)日需給每位交通協(xié)管員的費(fèi)用為200元.以四個(gè)主干道入口聘請(qǐng)交通協(xié)管員的日總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),你認(rèn)為在這兩個(gè)方案中應(yīng)該如何選擇?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,點(diǎn)
(1)求點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離;
(2)設(shè)斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn),若的面積為,求直線的方程;
(3)是否存在定圓,使得過曲線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線,與曲線交于另外兩點(diǎn)時(shí),總有直線也與圓相切?若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家每年都會(huì)對(duì)中小學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康監(jiān)測,一分鐘跳繩是監(jiān)測的項(xiàng)目之一.今年某小學(xué)對(duì)本校六年級(jí)300名學(xué)生的一分鐘跳繩情況做了統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)一分鐘跳繩個(gè)數(shù)最低為10,最高為189.現(xiàn)將跳繩個(gè)數(shù)分成,,,,,6組,并繪制出如下的頻率分布直方圖.
(1)若一分鐘跳繩個(gè)數(shù)達(dá)到160為優(yōu)秀,求該校六年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩為優(yōu)秀的人數(shù);
(2)上級(jí)部門要對(duì)該校體質(zhì)監(jiān)測情況進(jìn)行復(fù)查,發(fā)現(xiàn)每組男、女學(xué)生人數(shù)比例有很大差別,組男、女人數(shù)之比為,組男、女人數(shù)之比為,組男、女人數(shù)之比為,組男、女人數(shù)之比為,組男、女人數(shù)之比為,組男、女人數(shù)之比為.試估計(jì)此校六年級(jí)男生一分鐘跳繩個(gè)數(shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,結(jié)果保留整數(shù)).
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