Question

已知a＞b＞c，比較a²b+b²c+c²a與ab²+bc²+ca²的大小.

Answer 1

解：a²b+b²c+c²a-(ab²+bc²+ca²)

=（a²b-ab²）+(b²c-ca²)+(c²a-bc²)

=ab(a-b)-c(a-b)(a+b)+c²(a-b)

=(a-b)(ab-ac-bc+c²)

=(a-b)［a(b-c)-c(b-c)］

=(a-b)(a-c)(b-c).

∵a＞b＞c,

∴a-b＞0,a-c＞0,b-c＞0.

∴(a-b)(a-c)(b-c)＞0.

∴a²b+b²c+c²a＞ab²+bc²+ca².

溫馨提示

(1)根據(jù)實數(shù)大小與實數(shù)運算性質(zhì)關(guān)系可知，比較兩個數(shù)的大小，可以作差比較，通過判斷差的符號，得到兩數(shù)的大小，作差后，一般方法是將差因式分解，從而只需判斷簡單因式的符號，當(dāng)然也可以把差通過配方等方法寫成一些正數(shù)（負數(shù)）的和.

（2）兩個數(shù)的大小，還可以通過應(yīng)用不等式的性質(zhì)將條件中的不等式進行移項,同乘一個數(shù)、開方、乘方等變形得到兩數(shù)的大小.

（3）根據(jù)不等式性質(zhì)，比較兩數(shù)大小還可以用做平方差等方法.如果是兩正數(shù)（負數(shù)），還可以作商，比較商與1的大小,不過要注意商的分母必須恒正或恒負.