【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形,平面,,分別為,的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若與平面所成的角為,,求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,,由中位線定理可證,,再由已知條件可得,可證四邊形為平行四邊形,即可得證結(jié)論;
(2) 平面,點(diǎn)到平面的距離相等,轉(zhuǎn)化為求到平面的距離相等,連接,取的中點(diǎn),連接,,可證,結(jié)合已知可得平面,由直線與平面所成角的定義,得,根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系及中位線定理,求出,可得,由已知條件可得平面,進(jìn)而有,可證平面,為所求距離;或求出三棱錐的體積和的面積,用等體積法,求點(diǎn)到平面的距離
解:(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接,,
在中,,分別為,的中點(diǎn),
∴.又∵為中點(diǎn),底面是矩形,
∴,∴,
∴四邊形為平行四邊形,∴.
又∵平面,平面,∴平面.
(2)方法一:連接,取的中點(diǎn),連接,.
在中,,
∵平面,∴平面,
∵與平面所成角為,∴,
∵,∴,
在中,∵,,∴,
∴,
∴為等腰直角三角形,∴,
∵底面為矩形,∴,
∵平面,∴,又,
∴平面.
又平面,∴,
又∵,∴平面,
又∵,,
∴點(diǎn)到平面的距離為.
方法二:連接,取的中點(diǎn),連接.
在中,,
∵平面,∴平面,
∵與平面所成角為,
∴.
∵,∴,在中,
∵,,
∴,,,
∴為等腰直角三角形,∴,
∵底面為矩形,∴,
∵平面,∴,又,
∴平面,∴.
在中,,
在中,.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則
由得.
∴,∴,
∴點(diǎn)到平面的距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)參加項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為人,平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)萬(wàn)元.根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要,從項(xiàng)目中調(diào)出人參與項(xiàng)目的售后服務(wù)工作,每人每年可以創(chuàng)造利潤(rùn)萬(wàn)元(),項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高
(1)若要保證項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)名工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則最多調(diào)出多少人參加項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作?
(2)在(1)的條件下,當(dāng)從項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過(guò)總?cè)藬?shù)的時(shí),才能使得項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤(rùn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點(diǎn)在線段上移動(dòng),有下列判斷:①平面平面;②平面平面;③三棱錐的體積不變;④平面.其中,正確的是______.(把所有正確的判斷的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果實(shí)系數(shù)、、和、、都是非零常數(shù).
(1)設(shè)不等式和的解集分別是、,試問(wèn)是的什么條件?并說(shuō)明理由.
(2)在實(shí)數(shù)集中,方程和的解集分別為和,試問(wèn)是的什么條件?并說(shuō)明理由.
(3)在復(fù)數(shù)集中,方程和的解集分別為和,證明:是的充要條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)和.
(1)為偶函數(shù),試判斷的奇偶性;
(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,當(dāng)時(shí)判斷在上的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時(shí),問(wèn)是否存在x的值,使?jié)M足且的任意實(shí)數(shù)a,不等式恒成立?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,曲線由兩個(gè)橢圓:和橢圓:組成,當(dāng)成等比數(shù)列時(shí),稱曲線為“貓眼曲線”.
(1)若貓眼曲線過(guò)點(diǎn),且的公比為,求貓眼曲線的方程;
(2)對(duì)于題(1)中的求貓眼曲線,任作斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線相交,交橢圓所得弦的中點(diǎn)為M,交橢圓所得弦的中點(diǎn)為N,求證:為與無(wú)關(guān)的定值;
(3)若斜率為的直線為橢圓的切線,且交橢圓于點(diǎn),為橢圓上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn),定義變換:將點(diǎn)變換為點(diǎn),使得其中.這樣變換就將坐標(biāo)系內(nèi)的曲線變換為坐標(biāo)系內(nèi)的曲線.則四個(gè)函數(shù),,,在坐標(biāo)系內(nèi)的圖象,變換為坐標(biāo)系內(nèi)的四條曲線(如圖)依次是
A. ②,③,①,④B. ③,②,④,①C. ②,③,④,①D. ③,②,①,④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是由正方形,直角梯形,三角形組成的一個(gè)平面圖形,其中,,將其沿,折起使得與重合,連接,如圖2.
(1)證明:圖2中的,,,四點(diǎn)共面,且平面平面;
(2)求圖2中的二面角的大小.
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