Question

7．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是拋物線上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，∠MAN=$\frac{π}{2}$．
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若x₂＜2＜x₁，點(diǎn)M，A，N在x軸上的投影分別是R，S，T，求$\frac{|TS|}{|SR|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為x²=2py，（p＞0），由點(diǎn)P（1，2）在拋物線上，求出p即可．
（2）設(shè)直線AM的斜率為k，則直線AN的斜率為-$\frac{1}{k}$，直線AM的方程為y-1=k（x-2），直線AN的方程為y-1=-$\frac{1}{k}$（x-2），直線AM方程與拋物線方程聯(lián)立化為x²-4kx+8k-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得M（4k-2，4k²-4k+1），同理，得N（-$\frac{4}{k}$-2，$\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{4}{k}+1$），可得直線MN的方程為：（k-$\frac{1}{k}$-1）x-y+2k-$\frac{2}{k}$-2+5=0，利用直線系即可得出定點(diǎn)；
（3）根據(jù)∠MAN=$\frac{π}{2}$，建立垂直關(guān)系，利用利用基本不等式進(jìn)行求解．

解答 （1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），
∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=2py，（p＞0），
把A（2，1）的坐標(biāo)代入上式，得
p=2，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=4y；
（2）證明：設(shè)直線AM的斜率為k，則直線AN的斜率為-$\frac{1}{k}$，
直線AM的方程為y-1=k（x-2），
直線AN的方程為y-1=-$\frac{1}{k}$（x-2），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，
消去y并整理得x²-4kx+8k-2=0，
∴x₁+2=4k，
∴x₁=4k-2，
∴y₁=k（4k-4）+1=4k²-4k+1，
∴M（4k-2，4k²-4k+1），
同理，得N（-$\frac{4}{k}$-2，$\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{4}{k}+1$），
∴直線MN的斜率為：k_MN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=k-$\frac{1}{k}$-1，
根據(jù)兩點(diǎn)式得直線MN的方程為：（k-$\frac{1}{k}$-1）x-y+2k-$\frac{2}{k}$-2+5=0，
∴（k-$\frac{1}{k}$-1）x-y+2（k-$\frac{1}{k}$-1）+5=0，
令k-$\frac{1}{k}$-1=t，
∴tx-y+2t+5=0，
∴t（x+2）-y+5=0，
令x+2=0，得x=-2，
此時(shí)，-y+5=0，解得y=5，
∴直線MN經(jīng)過定點(diǎn)（-2，5）；
（3）M（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），N（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
$\overrightarrow{AM}$=（x₁-2，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-1），$\overrightarrow{AN}$=（x₂-2，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-1），
∵，∠MAN=$\frac{π}{2}$．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，
則（x₁-2）（x₂-2）+（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-1）（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-1）=0，
即（x₁-2）（x₂-2）+$\frac{（{x}_{1}-2）（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）（{x}_{2}+2）}{16}$=0，
則（x₁-2）（x₂-2）•$\frac{16+（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}{16}=0$，
∵x₂＜2＜x₁，
∴16+（x₁+2）（x₂+2）=0，即x₂+2=$-\frac{16}{{x}_{1}+2}$，
則$\frac{|TS|}{|SR|}$=$\frac{2-{x}_{1}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{2-{x}_{1}}{{x}_{2}+2-4}$=$\frac{{x}_{1}-2}{4+\frac{16}{{x}_{1}+2}}$=$\frac{{x}_{1}-2}{\frac{4n+24}{{x}_{1}+2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{4{x}_{1}+24}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{4（{x}_{1}+6）}$
=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-36+32}{4（{x}_{1}+6）}$=$\frac{（{x}_{1}+6）（{x}_{1}-6）}{4（{x}_{1}+6）}$+$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$=$\frac{{x}_{1}-6}{4}$+$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$=$\frac{{x}_{1}+6}{4}$-3+$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$，
∵$\frac{{x}_{1}+6}{4}$+$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$$≥2\sqrt{\frac{{x}_{1}+6}{4}•\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}}=2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{x}_{1}+6}{4}$=$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$取等號(hào)，
∴$\frac{{x}_{1}+6}{4}$-3+$\frac{32}{4（{x}_{1}+6）}$≥2$\sqrt{2}-3$，
故$\frac{|TS|}{|SR|}$的最小值為2$\sqrt{2}-3$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．重點(diǎn)理解與掌握拋物線的方程、拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于難題．