【題目】(本小題滿分12分)
已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,過原點(diǎn)分別作曲線與的切線, ,已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明: ;
(3)設(shè),當(dāng), 時,求實數(shù)的取值范圍
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2)證明見解析;(3).
【解析】(1)求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),對分類討論可得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)背景為指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關(guān)于直線對稱,主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線的切線及結(jié)合方程有解零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)該用求參數(shù)的問題,得到不等式的證明;(3)考查利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的最值和不等式的恒成立求參數(shù)的范圍問題,求導(dǎo)過程中用到了課后習(xí)題 這個結(jié)論,考查學(xué)生對知識的掌握程度.
(1)依題意,函數(shù)的定義域為,對求導(dǎo),得.
①若,對一切有,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
②若,當(dāng)時, ;當(dāng)時, .
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)設(shè)切線的方程為,切點(diǎn)為,則,
,所以, ,則.
由題意知,切線的斜率為, 的方程為.
設(shè)與曲線的切點(diǎn)為,則,
所以, .
又因為,消去和后,整理得.
令,則, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
若
而在上單調(diào)遞減,所以.
若,因為在上單調(diào)遞增,且,則,
所以(舍去).
綜上可知, .
(3), .
①當(dāng)時,因為,所以,
在上遞增, 恒成立,符合題意.
②當(dāng)時,因為,所以在上遞增,且,則存在,使得.
所以在上遞減,在上遞增,又,所以不恒成立,不合題意.
綜合①②可知,所求實數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=kax﹣a﹣x(a>0且a≠1,k∈R),f(x)是定義域為R的奇函數(shù).
(1)求k的值
(2)已知f(1)= ,函數(shù)g(x)=a2x+a﹣2x﹣2f(x),x∈[0,1],求g(x)的值域;
(3)在第(2)問的條件下,試問是否存在正整數(shù)λ,使得f(2x)≥λf(x)對任意x∈[﹣ , ]恒成立?若存在,請求出所有的正整數(shù)λ;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù) (m為實數(shù))為偶函數(shù),記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<a<b
D.a<c<b
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪每12分鐘轉(zhuǎn)一周,最低點(diǎn)距地面2米,最高點(diǎn)距地面18米,P是摩天輪輪周上一定點(diǎn),從P在最低點(diǎn)時開始計時,則16分鐘后P點(diǎn)距地面的高度是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若關(guān)于的方程有3個不同實根,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)已知當(dāng)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(sinθ,1), =(1,cosθ),﹣ <θ . (Ⅰ)若 ⊥ ,求tanθ的值.
(Ⅱ)求| + |的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商品最近30天的價格f(t)(元)與時間t滿足關(guān)系式:f(t)= ,且知銷售量g(t)與時間t滿足關(guān)系式 g(t)=﹣t+30,(0≤t≤30,t∈N+),求該商品的日銷售額的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)請在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖象,并寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣m恰有3個不同零點(diǎn),求實數(shù)m的取值范圍.
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