Question

1．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AA₁ 和CC₁的中點(diǎn)，則異面直線B₁E與BF所成的角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $-\frac{1}{5}$
• D． $-\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線B₁E與BF所成的角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，
DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為2，
又E、F分別是AA₁ 和CC₁的中點(diǎn)，
∴B₁（2，2，2），E（2，0，1），
B（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（0，-2，-1），$\overrightarrow{BF}$=（-2，0，1），
設(shè)異面直線B₁E與BF所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}E}•\overrightarrow{BF}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}E}|•|\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{1}{5}$，
∴異面直線B₁E與BF所成的角的余弦值為$\frac{1}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．