Question

21、已知拋物線y=x²-xcosθ+2sinθ-1（θ為參數）．
（1）求此拋物線在x軸上兩截距的平方和與θ的函數關系f（θ）；
（2）求f（θ）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）設x²-xcosθ+2sinθ-1=0的兩根為x₁，x₂，由題意知f（θ）=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=cos²θ-4sinθ+2=-（sinθ+2）²+7．
（2）由f（θ）=-（sinθ+2）²+7，-1≤sinθ≤1，知當sinθ=-1時，f（θ）_max=-1+7=6；當sinθ=1時，f（θ）_min=-9+7=-2．

解答：解：（1）設x²-xcosθ+2sinθ-1=0的兩根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=cosθ，x₁x₂=2sinθ-1，
由題意知f（θ）=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=cos²θ-4sinθ+2
=-（sinθ+2）²+7．
（2）∵f（θ）=-（sinθ+2）²+7，-1≤sinθ≤1，
∴當sinθ=-1時，f（θ）_max=-1+7=6；當sinθ=1時，f（θ）_min=-9+7=-2．
故f（θ）的最小值是-2，最大值是6．

點評：本題以三角函數為載體，考查拋物線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．