Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁D₁和CC₁的中點．
（1）畫出由A，E，F(xiàn)確定的平面β截正方體所得的截面；（保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）
（2）求異面直線直線EF和AC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取BC的四等分點G（靠近C的），D₁C₁的四等分點H（靠近C₁的），則五邊形AGFHE即為由A，E，F(xiàn)確定的平面β截正方體所得的截面；
（2）由（1）可知EH∥AC，故∠HEF（或其補角）即為異面直線直線EF和AC所成角，設(shè)出正方體的棱長在△HEF中，由余弦定理可得∠HEF，即可得答案．

解答：解：（1）如圖，取BC的四等分點G（靠近C的），D₁C₁的四等分點H（靠近C₁的），
則五邊形AGFHE即為由A，E，F(xiàn)確定的平面β截正方體所得的截面，
（2）由（1）可知EH∥AC，故∠HEF（或其補角）即為異面直線直線EF和AC所成角，
設(shè)正方體的棱長為4，可得EH=

22+32

=

13

，HF=

12+22

=

5

，
EF=

22+42+22

=2

6

，在△HEF中，由余弦定理可得
cos∠HEF=

13+24-5

2× 13 ×2 6

=

4 78

39

，故∠HEF=arccos

4 78

39

，
故異面直線直線EF和AC所成角的大小為：arccos

4 78

39

點評：本題考查異面直線所成的角，涉及正方體的截面問題，屬中檔題．