Question

3．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-ka_n（k≠0）對(duì)任意n∈N^*成立，且{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列．
（1）求實(shí)數(shù)k的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂（a_n+1），c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，d_n=$\frac{_{n+3}}{_{n}_{n+1}（{a}_{n+1}+1）}$，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為P_n，數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為Q_n．
①若對(duì)n∈N^*，P_n≤k（n+4）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
②求證：Q_n＜P_n（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列．可得：a_n+2-a_n+1=λ（a_n+1-a_n），
可得a_n+2=（1+λ）a_n+1-λa_n，又已知a_n+2=3a_n+1-ka_n（k≠0）對(duì)任意n∈N^*成立，可得λ，k．再利用累加求和與等比數(shù)列的求和公式即可得出a_n．
（2）①由（1）知：b_n=log₂（a_n+1）=n，c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂項(xiàng)求和”方法可得P_n．P_n≤k（n+4），即$\frac{n}{n+1}$≤k（n+4），可得：k≥$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列．可得：a_n+2-a_n+1=λ（a_n+1-a_n），
∴a_n+2=（1+λ）a_n+1-λa_n，又∵a_n+2=3a_n+1-ka_n（k≠0）對(duì)任意n∈N^*成立，
∴λ=2，k=2．
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），首項(xiàng)a₂-a₁=2，q=2．
a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n-a₁=2+2²+…+2^n-1=$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$=2ⁿ-2．
可得a_n=2ⁿ-1．
（2）①由（1）知：b_n=log₂（a_n+1）=n，c_n=$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴P_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
P_n≤k（n+4），即$\frac{n}{n+1}$≤k（n+4），可得：k≥$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$．
∵$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{4}{n}}+5}$=$\frac{1}{9}$．當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取等號(hào)．
∴$k≥\frac{1}{9}$．
②證明：d_n=$\frac{_{n+3}}{_{n}_{n+1}（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{（n+2）}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$．
∴Q_n=$（\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{2×{2}^{2}}-\frac{1}{3×{2}^{3}}）$+…+$（\frac{1}{n•{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}）$
=$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$．
P_n-Q_n=1-$\frac{1}{n+1}$-（$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n+1}$$（\frac{1}{{2}^{n+1}}-1）$=$\frac{（n-1）•{2}^{n+1}+2}{（n+1）•{2}^{n+2}}$．
當(dāng)n∈N^*時(shí)，（n-1）•2ⁿ⁺¹+2＞0，∴P_n-Q_n＞0，
∴P_n＞Q_n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、基本不等式的性質(zhì)、作差法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．