Question

15．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R），則直線l過的定點及直線與圓相交得的最短弦長分別為（　　）

• A． （3，1），$4\sqrt{5}$
• B． （2，1），$4\sqrt{5}$
• C． （-3，1），$4\sqrt{3}$
• D． （2，-1），3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 （1）通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點；
（2）說明直線l被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長．

解答 解（1）：將直線化為直線束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．
聯(lián)立方程x+y-4=0與2x+y-7=0，得點（3，1）；
將點（3，1）代入直線方程，不論m為何值時都滿足方程，所以直線l恒過定點（3，1）；
（2）當(dāng)直線l垂直于圓心與定點（3，1）所在直線時弦長最短，
斜率為2，代入方程得m=-$\frac{3}{4}$，此時直線l方程為2x-y-5=0，圓心到直線的距離為$\sqrt{5}$，
所以最短弦長為4$\sqrt{5}$；
故選：A．

點評 本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查平面幾何知識的運用，考查計算能力，屬于中檔題．