Question

17．設(shè)f（x）=|x-b|+|x+b|．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求f（x）≤x+2的解集；
（2）當(dāng)x=1時(shí)，若不等式f（x）≥$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用絕對(duì)值的含義，對(duì)x討論，分x≥1，-1＜x＜1，x≤-1，去掉絕對(duì)值，得到不等式組，解出它們，再求并集即可得到解集；
（2）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可得不等式右邊的最大值為3，再由不等式恒成立思想可得f（b）≥3，再由去絕對(duì)值的方法，即可解得b的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=|x-1|+|x+1|，
由f（x）≤x+2得：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+x+1≤x+2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1-x+x+1≤x+2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{1-x-x-1≤x+2}\end{array}\right.$，
即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，
解得0≤x≤2，
所以f（x）≤x+2的解集為[0，2]；                       
（2）$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$=|1+$\frac{1}{a}$|-|2-$\frac{1}{a}$|≤|1+$\frac{1}{a}$+2-$\frac{1}{a}$|=3，
當(dāng)且僅當(dāng)（1+$\frac{1}{a}$）（2-$\frac{1}{a}$）≤0時(shí)，取等號(hào)．
由不等式f（x）≥$\frac{|a+1|-|2a-1|}{|a|}$對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，
由于x=1，可得|1-b|+|1+b|≥3，
即$\left\{\begin{array}{l}{b≥1}\\{b-1+b+1≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜b＜1}\\{1-b+b+1≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b≤-1}\\{1-b-b-1≥3}\end{array}\right.$，
解得：$b≤-\frac{3}{2}$或$b≥\frac{3}{2}$．
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是$（-∞，-\frac{3}{2}]∪[\frac{3}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，同時(shí)考查不等式恒成立問題的求法，運(yùn)用分類討論的思想方法和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．