Question

12．學(xué)校為了了解高三學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)中國(guó)古典文學(xué)的時(shí)間，隨機(jī)抽取了高三男生和女生各50名進(jìn)行問卷調(diào)查，其中每天自主學(xué)習(xí)中國(guó)古典文學(xué)的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的學(xué)生稱為“古文迷”，否則為“非古文迷”，調(diào)查結(jié)果如表：

	古文迷	非古文迷	合計(jì)
男生	26	24	50
女生	30	20	50
合計(jì)	56	44	100

（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)能否判斷有60%的把握認(rèn)為“古文迷”與性別有關(guān)？
（Ⅱ）現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進(jìn)行調(diào)查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù)；
（Ⅲ）現(xiàn)從（Ⅱ）中所抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，記這3人中“古文迷”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k0	0.455	0.708	1.321	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）調(diào)查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分層抽樣的方法抽出5人，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）ξ的所有取值為1，2，3．求出相應(yīng)的概率，即可求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由列聯(lián)表得K²=$\frac{100（26×20-30×34）^{2}}{56×44×50×50}$≈0.6494＜0.708，
所以沒有60%的把握認(rèn)為“古文迷”與性別有關(guān)．…（3分）
（Ⅱ）調(diào)查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分層抽樣的方法抽出5人，則“古文迷”的人數(shù)為$5×\frac{30}{50}$=3人，“非古文迷”有$5×\frac{20}{50}$=2人．
即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數(shù)分別為3人和2人…（6分）
（Ⅲ）因?yàn)棣螢樗�抽取�?人中“古文迷”的人數(shù)，所以ξ的所有取值為1，2，3．
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$．…（9分）
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

于是Eξ=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．