Question

已知f（x）為偶函數(shù)，且x＞0時，．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，∞）上的單調性，并證明；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值；
（3）求x∈（-∞，0）時函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)的單調性的定義進行判斷和證明即可
（2）由（1）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[，2]上的單調性，結合單調性及已知函數(shù)的 值域可求a
（3）可設x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），結合已知x＞0時的函數(shù)解析式及函數(shù)為偶函數(shù)可求
解答：（本小題滿分14分）
解：（1）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．．…（1分）
證明如下：
任取0＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=
==．…（3分）
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)..…（6分）
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[，2]上是增函數(shù)，值域為[]，．…（7分）
∴f（）=，f（2）=2，．…（9分）
即，解得a=..…（11分）
（3）設x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=．…（12分）
又因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）==..…（14分）
點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調性、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的值域等知識的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握函數(shù)的基本知識