Question

已知水渠在過水斷面面積為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大．現(xiàn)有以下兩種設計，如圖甲、圖乙．圖甲的過水斷面為等腰△ABC，AB=BC，過水濕周l₁=AB+BC 圖乙的過水斷面為等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，過水濕周l₂=AB+BC+CD，若△ABC與梯形ABCD的面積都是S．

（1）分別求l₁和l₂的最小值；
（2）為使流量最大，給出最佳設計方案．

Answer 1

【答案】分析：（1）在圖甲中，設∠ABC=θ，AB=BC=a，則S=a²sinθ，可解得l₁=2a≥2；在圖乙中，設AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，可求得：AD=m+n，
由S=（n+m+n）•m，解得n=-，代入其面積表達式，應用基本不等式即可求得l₂≥；
（2）由（1）可得l_1min=2，l_2min=2，比較與的大小即可．
解答：解：（1）在圖甲中，設∠ABC=θ，AB=BC=a，則S=a²sinθ，
∵S，a，sinθ均為正值，
∴a=≥．
當且僅當sinθ=1，即θ=90°時取等號，
∴l(xiāng)₁=2a≥2；
在圖乙中，設AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，可求得：AD=m+n（m＞0，n＞0）．
由S=（n+m+n）•m，解得n=-，
∴l(xiāng)₂=2m+n=2m+-=+m≥，當且僅當=m，即m=時取“=“；
（2）由于=＞，則l₂的最小值小于l₁的最小值，
故在方案②中當l₂取得最小值時的設計方案為最佳方案．
點評：本題基本不等式在最值問題中的應用，著重考查基本不等式，考查綜合分析與運算的能力，屬于難題．