Question

設(shè)雙曲線(a＞0,b＞0)的右頂點(diǎn)為A,P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點(diǎn).(如圖)

(1)證明無(wú)論P點(diǎn)在什么位置，總有||²=|·|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

(2)若以OP為邊長(zhǎng)的正方形面積等于以雙曲線實(shí)、虛軸長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的矩形的面積，求雙曲線離心率的取值范圍.

Answer 1

(1)證明:設(shè)OP:y=kx,又根據(jù)條件可設(shè)AR:y=(x-a),解得R(,).?

∴=(,).                                                                               ?

又∵AQ:y=-(x-a),?

同理可得=(,),?

∴|·|=.                                                                                   ?

設(shè)=(M,n),則由雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得m²=,n²=,?

||²=m²+n²=+=.?

∵點(diǎn)P在雙曲線上,∴b²-a²k²＞0.?

∴無(wú)論P點(diǎn)在什么位置,總有||²=|·|.                                               ?

(2)解:由條件得=4AB,即k²=＞0.?

∴4b＞a.∴＞.                                                                                                        ?

又∵e====＞=,?

∴e＞.