Question

已知函數(shù)f(x)=x-

1

x

．
（1）研究此函數(shù)的奇偶性．
（2）證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（3）畫出此函數(shù)的圖象草圖．

Answer 1

分析：（1）先求得f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)任意x，都有f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，計算f(x1)-f(x2)=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=＜0，可得f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（3）由（1）知，f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，先用描點法畫出f（x）在（0，+∞）的圖象，再將所得圖象關(guān)于原點對稱得到f（x）在（-∞，0）內(nèi)的圖象．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）且對定義域內(nèi)任意x，都有f(-x)=(-x)-

1

-x

=-(x-

1

x

)=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，∴1+

1

x1x2

＞0．
計算f(x1)-f(x2)=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=(x1-x2)+(

1

x2

-

1

x1

)=(x1-x2)•(1+

1

x1x2

)＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），由增函數(shù)定義可知，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（3）由（1）知，f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，先畫出f（x）在（0，+∞）的圖象，再將所得圖象關(guān)于原點對稱得到f（x）在（-∞，0）內(nèi)的圖象；由（2）知f（x）在（0，+∞）上遞增，
列表：

x	…	1 4	1 2	1	2	4	…
f（x）	…	- 15 4	- 3 2	0	3 2	15 4	…

畫出草圖如下：
．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的判斷和證明，用描點法作函數(shù)的圖象，屬于中檔題．