Question

15．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinB+sin（C-A）=$\sqrt{2}$sinC，$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$
（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，求△ABC面積的最大值；
（Ⅱ）求$\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可得范圍$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤c≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，由sin（C-A）+sinB=$\sqrt{2}$sinC，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得cosA的值，進(jìn)而可求sinA，利用三角形面積公式即可解得其最大值．
（Ⅱ）由$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式解得sinB的范圍，利用正弦定理即可得解$\frac{a}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，b=1，
∴由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤$\frac{c}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，可得：$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤c≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∵sin（C-A）+sinB=$\sqrt{2}$sinC，
⇒sin（C-A）+sin（C+A）=$\sqrt{2}$sinC，
⇒2sinCcosA=$\sqrt{2}$sinC，（sinC≠0），
⇒cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$×c∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{5}{8}$]．
∴△ABC面積的最大值為$\frac{5}{8}$．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）得sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
⇒$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（cosB+sinB）}{sinB}$∈[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$]，
⇒$\frac{cosB}{sinB}$=±$\sqrt{\frac{1-si{n}^{2}B}{si{n}^{2}B}}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
⇒sinB∈[$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，1]．
∴$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{sinB}$∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{26}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了不等式的解法及應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．