Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx的圖象總在函數(shù)g（x）=ax²-$\frac{1}{2}$（a＞0）圖象的下方，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 設h（x）=g（x）-f（x）=ax²-lnx-$\frac{1}{2}$，利用導數(shù)求得x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$時，函數(shù)h（x）取得最小值-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，利用函數(shù)f（x）=lnx的圖象總在函數(shù)g（x）=ax²-$\frac{1}{2}$（a＞0）圖象的下方，可得-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＞0，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設h（x）=g（x）-f（x）=ax²-lnx-$\frac{1}{2}$，則h′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=0（x＞0），
∴x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$
0＜x＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，h′（x）＜0；x＞$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，h′（x）＞0，
∴x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$時，函數(shù)h（x）取得最小值-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
∵函數(shù)f（x）=lnx的圖象總在函數(shù)g（x）=ax²-$\frac{1}{2}$（a＞0）圖象的下方，
∴-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＞0，∴a＞$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的最值，考查導數(shù)知識的運用，正確構造函數(shù)，合理運用導數(shù)是關鍵．