Question

如圖1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE=4．如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐B-DEG的體積．

Answer 1

（1）取AC的中點(diǎn)P，連接DP，因?yàn)樵赗t△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，
所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=

3

，∠DCP=30°，∠PDC=60°，
又點(diǎn)E在線段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，
∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；
∵將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC
∴DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，G為EC的中點(diǎn)，此時(shí)AE=EG=GC=2，
因?yàn)樵赗t△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，
所以BD=

3

，DC=

32+( 3 )2

=2

3

，
所以B到DC的距離h=

BD•BC

DC

=

3 ×3

2 3

=

3

2

，
因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，
所以B到DC的距離h就是三棱錐B-DEG的高．
三棱錐B-DEG的體積：V=

1

3

×S△DEG×h=

1

3

×

2

3

×

1

3

×S△ABC×h=

1

3

×

2

3

×

1

3

×

1

2

×3×6×

3

2

×

3

2

=

3

2

．