在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c，已知
a
3
cosA
=
c
sinC
．
（1）求A的大��；
（2）若a=6，求b+c的取值范圍．
考點：余弦定理,正弦定理
專題：解三角形,不等式的解法及應用
分析：（Ⅰ）由條件結合正弦定理得：
a
3
cosA
=
c
sinC
=
a
sinA
，從而解得tanA=
3
，由0＜A＜π，即可求得A的值．
（Ⅱ）通過余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍，再利用三角形三邊的關系即可求出b+c的范圍．
解答： 解：（Ⅰ）由條件結合正弦定理得：
a
3
cosA
=
c
sinC
=
a
sinA
，
從而sinA=
3
cosA，tanA=
3
，
∵0＜A＜π，
∴A=
π
3
．
（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6．
由余弦定理得：a2=36=b2+c2-2bccos
π
3
=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-
3
4
（b+c）2=
1
4
（b+c）2，
（當且僅當b=c時等號成立）
∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6，
∴6＜b+c≤12，
點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應用，三角形的邊角關系式，以及基本不等式求最值，考查分析問題、解決問題的能力，屬于基本知識的考查．
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．

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a
，
b
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a
與向量
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x=t-
5
2
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π
6
）
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（3）設α為第四象限的角，且
sin3α
sinα
=
1
3
，求f（α+
π
3
）的值．

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A+B-C
2
=sin
A-B+C
2
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