Question

已知f（x）=xlnx+ax，g（x）=-x²-2，
（1）對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最小值和最大值；
（3）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx+1＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx+ax≥-x²-2恒成立，即-a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）上恒成立．
令F（x）=lnx+x+

2

x

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=xlnx+x，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，可得x=

1

e2

．對(duì)m分類討論：
當(dāng)0＜m＜

1

e2

時(shí)，及當(dāng)m≥

1

e2

時(shí)，分別研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
（3）問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx+x＞

x

ex

-

2

e

，x∈（0，+∞）．由（Ⅱ）知a=-1時(shí)，f（x）=xlnx+x的最小值是-

1

e2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

e2

時(shí)取得，設(shè)G（x）=

x

ex

-

2

e

，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最大值，只要證明：f_min（x）＞G_max（x）即可．

解答： 解：（1）對(duì)一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx+ax≥-x²-2恒成立，即-a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）上恒成立．
令F（x）=lnx+x+

2

x

，
則F′(x)=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，
因此，F(xiàn)（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F_min（x）=F（x）=3，
∴-a≤3，∴a≥-3．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=xlnx+x，
f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，解得x=

1

e2

．
①當(dāng)0＜m＜

1

e2

時(shí)，在x∈[m，

1

e2

)上f′（x）＜0；在x∈(

1

e2

，m+3]上f′（x）＞0．
因此，f（x）在x=

1

e2

處取得極小值，也是最小值．f_min（x）=-

1

e2

．
由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0．
因此，f_max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．
②當(dāng)m≥

1

e2

，f′（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（m）=m（lnm+1），f_max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．
（3）證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明xlnx+x＞

x

ex

-

2

e

，x∈（0，+∞）．
由（Ⅱ）知a=-1時(shí)，f（x）=xlnx+x的最小值是-

1

e2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

e2

時(shí)取得，
設(shè)G（x）=

x

ex

-

2

e

，x∈（0，+∞），則G′(x)=

1-x

ex

，
易知Gmax(x)=G(1)=-

1

e

，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到，
但-

1

e2

＞-

1

e

，從而可知對(duì)一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞

1

ex

-

2

ex

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．