Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+2）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R為常數(shù)）．對(duì)于函數(shù)g（x），h（x），若存在常數(shù)k，b，對(duì)于任意x∈R，不等式g（x）≤kx+b≤h（x）都成立，則稱直線y=kx+b是函數(shù)g（x），h（x）的分界線．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的極值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)a=2，試探究函數(shù)g（x）=-x²+4x+2與函數(shù)f（x）是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若a=-1，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求出f（x）的極值；
（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后討論a與0的大小關(guān)系，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）假設(shè)存在，令x=0，求出m的值，從而kx+1≥-x²+4x+2恒成立，然后求函數(shù)的恒成立問(wèn)題即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）若a=-1，則f（x）=e^x（-x+2），
f′（x）=e^x（-x+1），
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜1，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)f（x）取得極大值f（1）=e；
（Ⅱ）f′（x）=e^x（ax+a+2），
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0?ax＞-a-2，即x＞-1-

2

a

，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1-

2

a

，+∞）上是增函數(shù)，
由f′（x）＜0，得x＜-1-

2

a

，
在區(qū)間（-∞，-1-

2

a

）上是減函數(shù)；
當(dāng)a=0時(shí)．f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是區(qū)間（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0?ax＞-a-2即x＜-1-

2

a

，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1-

2

a

）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-1-

2

a

，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=e^x（2x+2），
若存在，g（x）≤kx+b≤h（x）
則-x²+4x+2≤kx+m≤e^x（2x+2）恒成立，
令x=0，則2≤m≤2，所以m=2，
因此：kx+2≥-x²+4x+2恒成立，即x²+（k-4）x≥0恒成立，
由△≤0得到（k-4）²≤0：即k=4
現(xiàn)在只要判斷e^x（2x+2）≥4x+2是否恒成立，
設(shè)ϕ（x）=e^x（2x+2）-（4x+2），
因?yàn)椋?#981;′（x）=e^x（2x+4）-4，
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，2x+4＞4，ϕ′（x）＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，e^x（2x+2）＜2e^x＜2，ϕ′（x）＜0，
所以ϕ（x）≥ϕ（0）=0，即e^x（2x+2）≥4x+2恒成立，
所以函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=-x²+4x+2存在“分界線”．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．